ریاضی دهم صفحه 148 - کار در کلاس 1
اگر $A'$ متمم پیشامد $A$ در فضای نمونهای $S$ باشد، ($A$ و $A'$ ناسازگارند) نشان دهید:
$P(A) = 1 - P(A')$
میدانیم $P(A \cup A') = P(S) = ...$
از طرفی $P(A \cup A') = P(A) + P(A') \Rightarrow P(A) + P(A') = 1 \Rightarrow \begin{cases} P(A) = ... \\ P(A') = ... \end{cases}$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 148 - کار در کلاس 1
برای اثبات رابطه بین احتمال یک پیشامد و متمم آن، از تعاریف پایهای مجموعهها و اصول احتمال استفاده میکنیم.
**گام اول:** میدانیم که اجتماع هر مجموعه با متممش برابر با کل فضای نمونهای است ($A \cup A' = S$). بنابراین احتمال اجتماع آنها برابر است با احتمال فضای نمونهای:
$$P(A \cup A') = P(S) = 1$$
**گام دوم:** چون $A$ و $A'$ **ناسازگار** هستند (یعنی هیچ اشتراکی ندارند)، طبق اصل جمع احتمالات داریم:
$$P(A \cup A') = P(A) + P(A')$$
**گام سوم:** با جایگذاری مقدار مرحله اول در مرحله دوم، به تساوی زیر میرسیم:
$$P(A) + P(A') = 1$$
**نتیجهگیری:** از این تساوی میتوان دو فرمول بسیار کاربردی زیر را استخراج کرد:
1) $$P(A) = 1 - P(A')$$
2) $$P(A') = 1 - P(A)$$
این فرمول به ما کمک میکند که اگر محاسبه احتمال یک پیشامد سخت بود، ابتدا احتمال رخ ندادن آن (متممش) را حساب کنیم و سپس از یک کسر کنیم.
